Таблицы Брадиса — классический справочник, в котором значения элементарных функций (тригонометрических, степенных, логарифмических) даны с четырьмя значащими цифрами. Четырёхзначность означает, что результат приводится с точностью до одной единицы четвёртого знака (для тригонометрических функций — до 0.0001).
Главный принцип устройства любой таблицы Брадиса:
- аргумент разбит на «крупный» шаг (например, 1 градус или 1 минута);
- основное тело таблицы даёт значение функции для целого шага аргумента;
- справа или снизу расположены колонки поправок (разностей), позволяющие уточнить значение для промежуточного аргумента.
Структура страницы тригонометрической таблицы (на примере синуса):
| Угол
0'
6'
12'
18'
24'
30'
36'
42'
48'
54'
60'
Поправки |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 27°
0.4540
0.4554
0.4568
0.4582
0.4596
0.4610
0.4624
0.4638
0.4652
0.4666
0.4680
1'=0.0002 |
Колонка поправок показывает, на сколько изменяется значение функции при изменении аргумента на 1, 2 или 3 последних разряда (например, на 1', 2', 3' дуги). Для промежуточных значений используется правило пропорциональных частей (см. раздел об интерполяции).
Все значения в таблицах округлены по правилам арифметического округления, поэтому погрешность отдельного отсчёта не превышает половины единицы последнего разряда. Для получения полной точности исходные (неокруглённые) таблицы следует брать из PDF sec16_bradis_tablicy.pdf — здесь приведена только методика пользования.
Таблицы синусов и косинусов совмещены на одной странице, потому что sin α = cos(90° − α). Углы от 0° до 90° даны с шагом 1 минута (в некоторых изданиях — с шагом 6 минут плюс поправки на секунды).
Правила чтения таблицы:
- Для углов от 0° до 45° синус читается по левому столбцу (градусы сверху вниз), а минуты — по верхней строке; косинус для тех же углов читается по правому столбцу (градусы снизу вверх) и по нижней строке минут.
- Для углов от 45° до 90° роли меняются: синус читается по правому столбцу, косинус — по левому.
Пример отсчёта sin 27°18':
| Угол
12'
18'
24' |
|---|---|---|---|
| 27°
0.4568
0.4582
0.4596 |
sin 27°18' = 0.4582 (найденный прямо в таблице, без интерполяции, если шаг 6').
Интерполяция на секунды. Если угол задан с секундами, например 27°18'30", то к табличному значению 0.4582 прибавляют пропорциональную часть разности между соседними значениями. Разность за 6' (от 18' до 24') равна 0.4596 − 0.4582 = 0.0014; на 30" (то есть на полминуты) приходится 0.0014 × (0.5 / 6) ≈ 0.00012. Итог:
sin 27°18'30" ≈ 0.4582 + 0.0001 = 0.4583.
Косинус читается аналогично, но с учётом того, что при росте угла косинус убывает: поправки для косинуса вычитаются, а не прибавляются.
Таблицы тангенсов и котангенсов также совмещены, поскольку tg α = ctg(90° − α). Тангенс обычно покрывает углы от 0° до 76°, котангенс — от 14° до 90°. Шаг — 1 минута или 6 минут с колонкой поправок.
Правила чтения:
- Для углов 0°–45° тангенс читается по левому столбцу (градусы сверху вниз) и верхней строке минут; котангенс — по правому столбцу (градусы снизу вверх) и нижней строке.
- Для углов 45°–90° тангенс читается по правому столбцу, котангенс — по левому.
Примерные значения (для самопроверки):
| Угол
tg
ctg |
|---|---|---|
| 30°
0.5774
1.732 |
| 45°
1.0000
1.000 |
| 60°
1.732
0.5774 |
Особенность: вблизи 0° тангенс и вблизи 90° котангенс меняются очень быстро, поэтому табличный шаг там уменьшен, а поправки становятся крупнее и менее надёжны при линейной интерполяции. При расчётах на больших углах, где tg стремится к бесконечности, удобнее переходить на котангенс или на формулу tg α = sin α / cos α, вычисляя синус и косинус по таблице синусов.
Таблица квадратов даёт значения n² для чисел с тремя-четырьмя значащими цифрами. Типичный вид: слева первые две цифры числа, сверху третья цифра, на пересечении — квадрат. Колонка поправок уточняет четвёртую цифру.
Пример чтения квадрата числа 2.73:
| n
.00
.01
.02
.03 |
|---|---|---|---|---|
| 2.7
7.290
7.344
7.398
7.453 |
2.73² = 7.453 (7.4529 с округлением).
Чтобы возвести в квадрат число с другой десятичной позицией, сдвигают запятую по правилу: если запятая в основании сдвигается на один знак, то в результате — на два знака в ту же сторону. Например, 27.3² = 745.3, 0.273² = 0.07453.
Таблица квадратных корней устроена аналогично и даёт √n для чисел 1.00–9.99 (или по двум первым знакам подкоренного числа). Примеры:
| n
√n |
|---|---|
| 2
1.414 |
| 3
1.732 |
| 27.3
5.225 |
Для подкоренного числа вне диапазона таблицы его приводят к виду a × 10^(2k), где a лежит в диапазоне таблицы, а затем используют √(a × 10^(2k)) = √a × 10^k. Например, √2730 = √(27.3 × 100) = 5.225 × 10 = 52.25.
Таблица кубов построена так же, как таблица квадратов: по первым цифрам основания находится куб, колонка поправок уточняет последний знак.
Пример: 2.73³ ≈ 20.35 (точнее 20.3465).
Правило переноса запятой для куба: сдвиг запятой в основании на один знак даёт сдвиг запятой в кубе на три знака. Например, 27.3³ = 20350, 0.273³ = 0.02035.
Таблица кубических корней даёт ∛n. Примеры для самопроверки:
| n
∛n |
|---|---|
| 8
2.000 |
| 27
3.000 |
| 100
4.642 |
Для произвольного подкоренного числа используют приведение к виду a × 10^(3k): ∛(a × 10^(3k)) = ∛a × 10^k. Например, ∛27000 = ∛(27 × 1000) = 3 × 10 = 30.
Кубические корни встречаются при пересчёте объёмов в линейные размеры (например, сторона куба по известному объёму), что полезно в инженерных и снабженческих расчётах.
Таблица десятичных логарифмов даёт логарифм любого положительного числа. Логарифм состоит из двух частей:
- характеристика — целая часть, определяемая положением десятичной запятой;
- мантисса — дробная часть (0 ≤ мантисса < 1), берётся из таблицы по значащим цифрам числа и не зависит от положения запятой.
Правило определения характеристики: если число больше 1, характеристика равна количеству цифр в целой части минус 1; если число меньше 1, характеристика отрицательна и равна количеству нулей до первой значащей цифры (включая ноль перед запятой) со знаком минус.
Примеры:
| Число
Характеристика
Мантисса
lg числа |
|---|---|---|---|
| 27.3
0.4362
1.4362 |
| 273
0.4362
2.4362 |
| 0.273
−1
0.4362
−1 + 0.4362 = −0.5638 |
Мантисса числа 27.3, 273 и 0.273 одна и та же (0.4362), потому что она зависит только от последовательности значащих цифр «2, 7, 3». Отрицательный логарифм удобно записывать в искусственной форме: lg 0.273 = 1.4362 (читается «минус единица с мантиссой 4362»), где характеристика −1 записывается как «1 с чертой сверху». Такая форма упрощает сложение и вычитание логарифмов при умножении и делении чисел.
Антилогарифм — операция, обратная логарифмированию: по значению lg x требуется найти само число x. Таблица антилогарифмов устроена зеркально таблице логарифмов: входом служит мантисса, а на пересечении строк и столбцов стоит число (мантисса результата).
Алгоритм нахождения числа по логарифму:
1. Отделить характеристику (целую часть) от мантиссы (дробной части).
2. По мантиссе найти в таблице антилогарифмов значащие цифры числа (обычно 4 цифры).
3. По характеристике расставить десятичную запятую: характеристика k означает, что перед первой значащей цифрой нужно поставить запятую так, чтобы целая часть имела (k + 1) цифр.
Пример: найти x, если lg x = 1.4362.
Характеристика 1, мантисса 0.4362. По таблице антилогарифмов мантиссе 0.4362 соответствуют цифры «2731». Характеристика 1 означает две цифры в целой части, поэтому x = 27.31 ≈ 27.3.
Пример: lg x = 2.4362 → характеристика 2, целая часть из трёх цифр: x = 273.1.
Пример: lg x = 1.4362 (характеристика −1) → x = 0.2731.
Антилогарифмы широко применяются при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корней: действие над числами заменяется действием над их логарифмами, а результат восстанавливается по антилогарифму.
Радианная мера угла — отношение длины дуги к радиусу. Полный круг равен 2π радиан, поэтому 180° = π радиан, а один градус равен π/180 радиан.
Основные формулы (текстом, без символики):
радианы = градусы × π / 180 ≈ градусы × 0.01745
градусы = радианы × 180 / π ≈ радианы × 57.296
Множитель 0.01745 — это значение одного градуса в радианах; обратный множитель 57.296 — значение одного радиана в градусах. Для перевода минут и секунд сначала выражают угол в долях градуса, затем умножают.
Таблица соответствия (для самопроверки):
| Градусы
Радианы |
|---|---|
| 1°
0.01745 |
| 30°
0.5236 |
| 45°
0.7854 |
| 60°
1.0472 |
| 90°
1.5708 |
| 180°
3.1416 |
| 360°
6.2832 |
Пример: перевести 27°18' в радианы. 27°18' = 27.3°. Радианы = 27.3 × 0.01745 = 0.4764. Проверка обратным ходом: 0.4764 × 57.296 = 27.3°.
В таблицах Брадиса есть готовый раздел перевода градусов и минут в радианы, позволяющий обойтись без умножения.
В артиллерии и снайперском деле углы измеряют в тысячных (милах). Используются две родственные единицы, которые важно не путать.
1. Тысячная (артиллерийский мил, «мил СССР/РФ»): окружность делится на 6000 частей. Одна тысячная — это угол, под которым отрезок длиной 1 метр виден с дистанции 1000 метров. Связь с градусами:
1 тысячная = 360° / 6000 = 0.06° = 3.6' (минуты дуги).
1° = 6000 / 360 = 16.667 тысячных.
2. Миллирадиан (мрад, «западный мил»): окружность делится на 2π × 1000 ≈ 6283 части. Это 1/1000 радиана. Связь с градусами:
1 мрад ≈ 0.0573° ≈ 3.44'.
1° = 1000 × π / 180 ≈ 17.45 мрад.
Разница между тысячной и миллирадианом мала (6000 против 6283 на круг), но на больших дистанциях её нужно учитывать. Для грубых полевых расчётов часто принимают, что одна тысячная ≈ один миллирадиан, и пользуются формулой тысячных (см. следующий раздел).
Сводная таблица перевода:
| Угол
Градусы
Тысячные (6000)
Миллирадианы |
|---|---|---|---|
| Прямой
90°
1500
1571 |
| Развёрнутый
180°
3000
3142 |
| Полный круг
360°
6000
6283 |
Перевод градусов в тысячные: тысячные = градусы × 16.667. Перевод тысячных в градусы: градусы = тысячные × 0.06.
Формула тысячных позволяет определить дальность до объекта, если известны его линейный размер и угловой размер в тысячных.
Формула (текстом):
дистанция (метры) = 1000 × размер объекта (метры) / угол (в тысячных)
Эквивалентные записи для практики:
- размер объекта = дистанция × угол / 1000;
- угол в тысячных = 1000 × размер объекта / дистанция.
Смысл формулы: одна тысячная «закрывает» 1 метр на дистанции 1000 метров, поэтому, зная, сколько тысячных занимает объект в сетке прицела или по подручным средствам, легко вычислить дальность.
Примеры:
| Объект
Размер
Угол
Дистанция |
|---|---|---|---|
| Фигура человека
1.7 м
5 тысячных
1000 × 1.7 / 5 = 340 м |
| Дверной проём
2.0 м
4 тысячных
1000 × 2.0 / 4 = 500 м |
| Грузовик
6.0 м
15 тысячных
1000 × 6.0 / 15 = 400 м |
Чтобы измерить угол в тысячных без специальной сетки, используют правило «палец, кулак, спичка на вытянутой руке»: ширина пальца ≈ 30 тысячных, кулака ≈ 150 тысячных, ширина спички ≈ 15 тысячных. Это грубые, но рабочие полевые оценки.
Формула тысячных — базовый инструмент определения дальности для корректировки огня и ориентирования на местности, тесно связанный с переводом углов (см. предыдущий раздел).
Таблицы Брадиса дают значения функции только для дискретных значений аргумента. Чтобы получить значение для промежуточного аргумента, применяют линейную интерполяцию — правило пропорциональных частей.
Алгоритм:
1. Найти в таблице два соседних значения аргумента, между которыми лежит заданное: меньшее x1 и большее x2, и соответствующие значения функции y1 и y2.
2. Вычислить табличную разность Δ = y2 − y1 (это и есть «поправка» на полный шаг).
3. Определить, какую долю шага составляет добавка аргумента: t = (x − x1) / (x2 − x1).
4. Прибавить пропорциональную часть разности: y ≈ y1 + t × Δ.
Пример. Найти sin 27°18' при табличном шаге 6'. Соседние значения: sin 27°12' = 0.4568, sin 27°18' = 0.4582. Если искомый угол 27°15', то t = (15 − 12) / 6 = 0.5, и
sin 27°15' ≈ 0.4568 + 0.5 × (0.4582 − 0.4568) = 0.4568 + 0.0007 = 0.4575.
Правило пропорциональных частей опирается на предположение, что на малом участке функция меняется почти линейно. Это справедливо для большинства таблиц, кроме областей, где функция меняется резко (тангенс вблизи 90°, логарифм вблизи нуля): там поправки становятся неточными, и при необходимости следует пользоваться более детальными таблицами или вычислениями.
В колонке «поправки» таблиц Брадиса часто уже указаны готовые значения Δ для 1, 2 и 3 последних разрядов аргумента, что позволяет складывать поправки без умножения.
Четырёхзначные таблицы Брадиса — компактный вычислительный инструмент для полевых условий, где нет калькулятора и компьютера, а точность четырёх значащих цифр достаточна для практических задач.
Основные применения:
1. Ориентирование на местности. Перевод азимутов из градусов в радианы и тысячные, вычисление расстояний по формуле тысячных, расчёт горизонтальных проложений по углу наклона (горизонтальное проложение = наклонная дальность × cos угла).
2. Корректировка огня. Определение дальности по угловому размеру цели, перевод угловых поправок в линейные и обратно, расчёт превышений траектории.
3. Топографические расчёты. Вычисление сторон прямоугольных треугольников по углу и одной стороне (через синус, косинус, тангенс), определение площадей и объёмов через квадраты и кубы.
4. Инженерные и снабженческие вычисления. Извлечение квадратных и кубических корней для пересчёта площадей в линейные размеры и объёмов в стороны ёмкостей, умножение и деление многозначных чисел через логарифмы и антилогарифмы.
Порядок работы в поле:
- зафиксировать исходные данные с нужным числом знаков;
- выбрать соответствующую таблицу (синусы, тангенсы, логарифмы и т. д.);
- снять основное значение и добавить поправку интерполяцией;
- проверить порядок результата (положение запятой, знак поправки).
Совместное использование таблиц с формулой тысячных и топографической сеткой даёт полный набор инструментов для автономных навигационных и огневых расчётов без электроники.
Разбор типовых задач по таблицам Брадиса.
Задача 1. Найти sin 27°18'.
В таблице синусов на пересечении строки 27° и столбца 18' находим 0.4582. Так как угол меньше 45°, синус читается по левому столбцу. Ответ: sin 27°18' = 0.4582.
Задача 2. Найти lg 27.3.
Отделяем характеристику: в числе 27.3 две цифры в целой части, характеристика = 1. Мантиссу ищем по значащим цифрам «273»: в таблице логарифмов мантисса = 0.4362. Ответ: lg 27.3 = 1.4362.
Задача 3. Найти √27.3.
В таблице квадратных корней по числу 27.3 находим 5.225. Ответ: √27.3 = 5.225.
Задача 4. Найти x, если lg x = 2.4362.
Характеристика 2, мантисса 0.4362. По таблице антилогарифмов мантиссе соответствует число 2731. Характеристика 2 означает три цифры в целой части. Ответ: x = 273.1.
Задача 5. Определить дальность до цели высотой 1.7 м, если в сетке она занимает 5 тысячных.
Дистанция = 1000 × 1.7 / 5 = 340 м. Ответ: 340 метров.
Задача 6. Перевести 27°18' в радианы.
27°18' = 27.3°. Радианы = 27.3 × 0.01745 = 0.4764. Ответ: 0.4764 рад.
Каждая задача демонстрирует цепочку: выбор таблицы → снятие значения → учёт характеристики или поправки → проверка порядка результата.
ТАБЛИЦАТаблица обратных величин даёт значение 1/n для чисел n. Она ускоряет деление: деление числа a на n заменяется умножением a на 1/n. Это особенно удобно при массовых расчётах норм, удельных величин и коэффициентов.
Примеры обратных величин:
| n
1/n |
|---|---|
| 2
0.5000 |
| 3
0.3333 |
| 4
0.2500 |
| 5
0.2000 |
| 7
0.1429 |
| 13
0.07692 |
| 27
0.03704 |
Правило переноса запятой: если n умножить на 10 в степени k, то 1/n уменьшится в 10 в степени k раз (запятая сдвигается влево). Например, 1/27 = 0.03704, значит 1/270 = 0.003704, а 1/2.7 = 0.3704.
Применение: деление 100 на 27 = 100 × 0.03704 = 3.704. Деление 5 на 7 = 5 × 0.1429 = 0.7145 ≈ 0.714. Точность обратной величины соответствует четырём значащим цифрам таблицы.
Таблица обратных величин дополняет логарифмический метод: для однократного деления проще взять готовое 1/n, чем раскладывать в логарифмы.
Настоящий том содержит методику пользования таблицами Брадиса и справочные значения для самопроверки, но не полные таблицы. Точные и полные таблицы (все страницы с колонками значений и поправок) находятся в файле-первоисточнике.
Файл: library_raw/sec16_bradis_tablicy.pdf
Полное имя: sec16_bradis_tablicy.pdf (в каталоге library_raw рабочей директории forum_scraper).
Как открыть файл:
1. Перейти в рабочую директорию C:\Users\spost\forum_scraper.
2. Открыть подкаталог library_raw.
3. Найти файл sec16_bradis_tablicy.pdf и открыть его любым средством просмотра PDF (например, двойным щелчком в проводнике Windows).
Структура PDF соответствует структуре настоящего тома: сначала пояснения и правила пользования, затем таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов, квадратов и квадратных корней, кубов и кубических корней, логарифмов и антилогарифмов, обратных величин, а также таблицы перевода градусов в радианы и тысячные.
При необходимости точного значения для аргумента, которого нет в справочных примерах данного тома, следует обратиться к соответствующим страницам PDF и применить правило пропорциональных частей, описанное в разделе про интерполяцию.